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在概率问题中，常常会遇到需要计算特定事件发生概率的情况。为了处理这些问题，我们可以使用计数模式来辅助计算。本文是“计算概率问题常用的计数模式”的系列之一，着重介绍了常用的计数模式之一。通过深入探讨这些计数模式的应用，读者可以更好地理解如何利用数学方法来解决概率问题，提高解题的效率和准确性。本文将详细讲解该计数模式的原理和应用场景，并通过案例分析帮助读者更好地掌握和运用所学知识。欢迎阅读本文，加深对概率问题计数模式的理解和运用。
不知道大家高中排列组合学得怎么样？
说来惭愧，对于排列组合这块知识，反正小编是晕晕乎乎的，完全不行，根本不知道排座有多少种排法，排队有多少种做法，高考这块的5分都丢了。不过说回来，这5分对我用途也不大，不像隔壁小哥哥有了这5分可以上清华北大了
。
可见，计算概率问题很重要，要不然除了高中学不明白，大学的概率论也是很难捱。
好吧，既然正确计数对于计算概率这么重要, 接下来的几篇文章为大家介绍一些基本的计数知识.
分球入盒问题
概率论中的许多计数问题, 都可以形象地刻画为各种不同类型的分球入盒问题. 按照球和盒子是否可辨, 可以把 “分球入盒问题” 分成多种不同类型.
第一类分球入盒问题有
不难看出, 这个问题就是一个多组组合问题: 要把
这里有两个特征:小球不同, 盒子也不同, 故适用于多组组合模式.
第二类分球入盒问题有
在这里,
对这个问题的解答需分两种情况考虑:
(1) 容许有空盒出现此时对隔板的放置位置没有限制, 这相当于要将
(2) 不容许有空盒出现此时对隔板的放置位置有限制, 因为只能把隔板放置在
这个问题的特点是:球相同, 盒子不同.
如下的例题是第二类分球入盒模式的一个应用.
[例]设有方程
解设想将 15 个无区别的小球分入 3 个不同的盒子, 再分别将第 1,2, 3 个盒中的球数对应为
；
而正整数解的组数 (相当于不允许出现空盒的情况) 为
第三类分球入盒问题有
一共有多少种不同分法?
这个问题的特点是:球不同, 盒子相同.因此只需要关心有几个盒子放几个球,而不需要管 "哪些" 盒子放 "哪几个" 球, 所以称为 "无编号分组模式", 意即对分出的组不用加以区分. 这个问题的解答比较复杂, 还是先从一些例子看起.
前面讲过的甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球双打的问题就是 "无编号分组问题"的最简单的例子. 由于用组合模式算出的分组方式是带有编号的, 已经对所分出的组排了顺序, 两个组的顺序有 2! 种, 所以只要将 “有编号分组方式数目" 除以 2!, 即得 “无编号分组方式数", 因此, 有
种 "无编号分组" 方式. 这个结果正好与具体的分组方式数目相符.
再来看一个例子.
[例]要把 7 人分为 3 个小组, 执行同一种任务, 其中一个组 3 人, 另两个组各 2 人, 求分组方式数.
解显然这也是一个 "无编号分组" 问题. 但是却与上面的情况有所不同. 因为其中有一个 3 人组, 无论是否编号, 它都与其余两个组有所区别 (编号无非是为了对分出的组加以区分), 所以在按 "有编号分组模式" 算出分组方式数之后, 只应再除以 2! (即除去两个不加区分的组的排列顺序数), 故得: 共有
种分组方式.
通过上述讨论, 我们得知第三类分球入盒问题的解为: 用 "有编号分组" 方式数
(#),
为便于今后运用, 我们不加证明地给出如下的陈述. 有兴趣的读者可以从关于组合论的有关书籍中找到其证明.
无编号分组模式有
则一共有
本文节选自科学出版社苏淳《概率论（第三版）》
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